Dijkstra's Algorithm

Dijkstra's Algorithm

다익스트라 알고리즘은 한 vertex에서 다른 vertex들로 가는 최단 경로를 구하는 알고리즘이다. 

 

cf) A* 알고리즘: 다익스트라에 휴리스틱을 도입해 더 빠르다.

 

다익스트라 알고리즘은 한 가지 가정 하에 적용할 수 있다.

모든 edge의 가중치가 양수이다.

다익스트라 알고리즘에서 출발점으로부터 가까운 vertex부터 방문하는 이유는 해당 vertex까지의 거리가 더이상 업데이트될 수 없기 때문이다. 이때 음수 가중치가 허용된다면 이미 방문한 vertex일지라도 더 작은 값으로 업데이트될 수 있어 다익스트라 알고리즘이 제대로 작동하지 않는다. 

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다익스트라 알고리즘은 distance 벡터와 visited 벡터를 갖는다. distance 벡터는 inf로, visited 벡터는 false로 초기화한다.

• distance 벡터: 출발점으로부터 각 vertex까지의 최단 거리를 저장한다. 만약 경로가 없다면 inf을 저장한다.

• visited 벡터: 각 vertex에 대해 방문 여부를 저장한다.

그 후, 출발점에서부터 더 이상 방문할 수 있는 vertex가 없을 때까지 다음 과정을 반복한다.

1. 현재 vertex v에 대해 visited 벡터를 true로 업데이트한다.

2. 인접한 vertex u에 대해 distance 벡터를 업데이트한다. (distance[u] = min(distance[u], distance[v]+weight(v, u))

3. 아직까지 방문하지 않은 vertex들 중에서 distance 벡터 값이 가장 작은 vertex를 방문한다.

Time Complexity

전체 vertex의 개수가 V, edge의 개수가 E인 그래프를 adjacency matrix로 저장했다면 시간복잡도는 O(V*(V+V)) = O(V^2)이다. adjacency matrix는 V*V 크기이므로 2번 과정에서 O(V), 3번 과정에서 O(V)가 걸린다. 그리고 이러한 iteration을 V번 반복한다.

 

그래프를 adjacency list로 저장했다면 전체 iteration에서 2번 과정을 모두 합하면 O(E)가 걸리므로 전체 시간복잡도는 O(E+V*V) = O(V^2)이다. adjacency matrix를 사용했을 때와 같은 시간복잡도이지만 좀 더 빠르다.

 

한편, 3번 과정에서 매번 distance 벡터를 훑으면서 최소 거리를 가진 vertex를 고르지 않고 priority queue를 이용하여 시간을 줄일 수 있다. 먼저 각 vertex를 priority queue에 추가하는 시간이 O(VlogV), 전체 iteration에서 3번 과정을 모두 합한 시간이 O(ElogV)이다. 따라서 전체 시간복잡도는 O(E+VlogV+ElogV) = O(ElogV)이다.